方程式１

地球がでこぼこのないほんとの球であるとして、そのまわりにロープを一周まく。隙間なくぴっちりまいたとする。（つまりロープの長さは40000キロということになる）。
このときロープは地面から高さ０メートルのところにある。
さて、ここでこのロープの長さを１メートル伸ばす。一部分だけ偏って弛ませるのでなく、まんべんなく弛ませる。するとロープは少し地面から浮くことになる。これを遠くからみると、地球を、それより少し半径の大きな円がとりかこんでいるような状態にする。
ここで問題だが、このようにきちきちにまいたロープの長さを１メートル伸ばしたとき地面からロープまでの高さはどれほどになるだろうか。
こんなの簡単だ、式をたてればよいんだ。という人はもちろんいるしそれで求めればよい。しかし私は方程式を使うのもつまらない、もっと直観的というか面白い解き方はないか、と思って考えた。
もともと40000キロだったロープが40000.001キロになったということは、1メートルあたり40000000分の1メートル伸びたということだ。そんなわずかな分だけ伸びてもそう余裕はできない、小動物も、ミミズさえも通れないくらいしか地面との隙間はできない。
これはわかりやすい。1メートルにつき0.000025ミリメートルロープが長くなったってかわりゃしないと思って当然だ。これはよい。ロープはあいかわらず地面とほぼ密着したままだ。
そう思ったが大間違いだった。
我々の日々の生活においては、地面は平らといってよい。だからロープを地面から少々浮かしたって、そのために伸びるべきロープの長さはほぼ０なのである。つまり1メートルあたり0.000025ミリしか伸びなくても地面との間にはそれなりに隙間ができるのだ。
こんなことは次のように計算すればすっきりわかる。

２πR＋１＝２π(R＋x)
２πx＝１　　　　∴x＝0.16メートル

つまり16センチの隙間が、たった１メートル伸ばしただけで得られるというわけだ。
なかなか驚きである。
ところで、この結論は直観的にはわからない。（多分）
上のような式をたてたおかげでわかることなのだ。
まさか実際にこんな地球にロープをまく問題に生活のなかでとりくまねばならない事態は起こりやしまいが、しかし感覚でどうしてもとらえられないものを目で見てよくわかる形で示してくれるのが方程式であるのだな、と上のようなものを見ると思わされる。少し方程式を見直す瞬間である。

（追）
上の問題の、他の面白い解き方があれば是非教えてください。